Родился 8 января 1895 г. в Ростове-на-Дону.
В 1918 г. окончил Донской университет, в 1932 г. – Московский институт инженеров связи.
В 1921 – 1923 гг. – начальник радио-лаборатории Высшей военной школы связи, в 1923–1946 гг. – начальник Научно-исследовательского института связи Рабоче-Крестьянской Красной армии.В эти годы основные труды А.Л. Минца посвящены теории и методам расчета систем радиотелефонной модуляции, разработке методов получения больших мощностей радиовещательных станций, созданию новых систем направленных антенн для сверхмощных радиостанций длинных и коротких волн, разборных мощных генераторных ламп, новых методов радиоизмерений.
А.Л. Минц руководил проектированием и строительством мощных радиостанций им. А.С. Попова (1927), им. ВЦСПС (1929), им. Коминтерна (1933), РВ-96 (1938) и другими.
В 1946 г. избран членом-корреспондентом, а в 1958 г. – действительным членом АН СССР.
С 1946 г. под руководством А.Л. Минца начало развиваться новое научное направление – радиотехника и электроника мощных ускорителей заряженных частиц. В 1946 г. А.Л. Минц назначен начальником лаборатории № 11, входившей в состав Лаборатории № 2 АН СССР, и главным инженером установки М ("мощный фазотрон", Дубна). Под его руководством разработаны и созданы ускорители Объединенного института ядерных исследований. А.Л. Минц руководил разработкой, проектированием и сооружением линейных ускорителей – инжекторов протонов и систем радиоэлектроники ускорителей в Москве и Серпухове (1967), работами по применению ускорителей в медицине. А.Л. Минц руководил разработкой радиочастотных систем плазменных установок Института атомной энергии им. И.В. Курчатова – токамаков, установок "Дельта", "Глобус" и других.
В 1951 г. лаборатория № 11 выделилась в отдельную организацию – Радиотехническую лабораторию АН СССР, а в 1957 г. была преобразована в Радиотехнический институт АН СССР (РИАН). А.Л. Минц руководил коллективом института до 1970 г.
В 1959 г. А.Л. Минц удостоен звания лауреата Ленинской премии за разработку систем электроники для синхрофазотрона на 10 ГэВ (ОИЯИ, Дубна).
Основным направлением работ А.Л. Минца в РИАН была разработка радиолокационных средств противовоздушной и противоракетной обороны. В результате были созданы: система противовоздушной обороны Москвы С25 "Беркут" (1956 г.), центральная станция обнаружения баллистических объектов (ЦСО-П, 1961 г.), мощные радиолокационные станции дальнего обнаружения – системы раннего предупреждения о ракетном нападении.
С 1967 г. А.Л. Минц был председателем Научного совета АН СССР по проблемам ускорения заряженных частиц.
Награжден Золотой медалью им. А.С. Попова АН СССР (1950).